DOĞAL SAYILAR KÜMESİ VE ONLUK SAYMA SİSTEMİ:

Denk Kümeler ve Doğal Sayılar:

Kümelerin eleman sayısını gösteren 0, 1, 2, 3 .. gibi  sayıların her birine doğal sayı denir, doğal sayılar sıfırdan başlar , sonsuza kadar devam eder. Doğal sayıların oluşturduğu kümeye Doğal Sayılar Kümesi denir, N ile gösterilir.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }

Sayma Sayıları:

Suluova da kaç tane ilköğretim okulu vardır? Sorusuna karşılık verilen “bir, iki, üç … ” sayılarına sayma sayıları denir. Sayma sayılarının oluşturduğu kümeye sayma sayıları kümesi denir. S ile gösterilir.

S = { 1, 2, 3, 4, … }

 

 Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi

Bir doğru üzerinde belirli bir nokta (0) sıfır noktası olmak üzere, sıfır noktasının sağ tarafını eşit  aralıklara bölelim. Bu her bir noktayı sırayla 0,1,2,3..  ile eşleyelim. Doğal sayıların üzerinde gösterildiği bu doğruya sayı doğrusu denir.

Ardışık Sayılar:

Bir doğal sayının bir fazlası olan doğal sayıya o doğal sayının ardışığı denir. Ardışık iki doğal sayı arasında başka bir doğal sayılar yoktur.

4 ün ardışığı  4+1=5  4 < 5

ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI

1 + 2 + 3+………..+ n =

2 + 4 + 6+……..+ 2n = n.( n + 1 )

1 +  3  + 5 +………+ ( 2n – 1 ) = n 2

ASAL SAYILAR       : 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1’ den büyük doğal sayılara “asal sayı” denir.

2 ,3,5,7,11,13,17…………asal sayıdır.

NOT    : 1 asal sayı değildir.

ARALARINDA ASAL SAYILAR   : 1’ den başka ortak böleni olmayan sayılara “aralarında asal sayılar” denir.

4 ile 7   aralarında asaldır

9  ile 25 aralarında asaldır

  • 3 ile 21 aralarında asal değildir çünkü her ikisi de “3” ile bölünür.

Doğal Sayılarda Sıralama:

Her han gi sayıdaki doğal sayıdan sayı doğrusundaki yerleri göz önüne alınarak en solda bulunan doğal sayı en küçüğüdür.

Bir başka deyişle sayı doğrusu üzerindeki dizilişleri küçükten büyüğe doğru dizilişle aynıdır.

15 < 17 < 21

veya

21 > 17 > 15

dir.

İki Doğal Sayı Arasındaki Doğal Sayıların Sayısını Bulma:

İki doğal sayı arasında kaç tane doğal sayı olduğunu bu sayıların farkından 1 çıkararak buluruz.

Örnek:

81 ile 52 arasında  kaç tane doğal sayı vardır?

81 – 52 = 29

29 – 1 = 28

28 tane doğal sayı vardır.

ONLUK SAYMA SİSTEMİ

Sayma işlemi sonucunda bulunan sayıyı yazma ve işlem yapma kolaylığı bakımından en uygun sayma sistemi onluk sayma sistemi . Sayıları onluk sistemde yazmak için on tane rakam kullanılır bu rakamlar

1          2          3          4          5          6          7          8          9          0

bir           iki          üç          dört        beş        altı        yedi        sekiz      dokuz     sıfır

bu rakamlara bir basamaklı doğal sayılar denir.

Sayıda; rakamın bulunduğu yere, basamak denir. Sayı yan yana kaç rakam ile yazılmışsa basamak sayısı da  o kadardır. 23 sayısı iki basamaklı bir sayıdır. 3 ün yazıldığı yere birler basamağı, 2 nin yazıldığı yere onlar basamağı denir.

23 = 2.(10) + 3.(1)

23 sayısı 2 onluk ve 1 birlikten oluşur.

Benzer şekilde; 146 sayısı 1 yüzlük, 4 onluk, 6 birlikten oluşur ve

146 = 1.(100) + 4.(10) + 6.(1)

şeklinde yazılır.

Onluk gruplar halinde oluşturulan bu sayma düzenine onluk sayma sistemi denir.

Basamaklar, onluk sayma sisteminde sağdan sola doğru; birler, onlar, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler,.. diye adlandırılır.

Onluk sayma sisteminde her basamak değeri sağındakinin on katıdır.

Çok büyük sayıların yazılıp okunması için; sayının basamakları, sağdan başlanarak üçerli gruplara ayrılır. Bu grupların her birine bölük denir.

MİLYONLAR BÖLÜĞÜ BİNLER BÖLÜĞÜ BİRLER BÖLÜĞÜ
Yüz milyonlar On milyonlar Milyonlar Yüz binler On binler Binler Yüzler Onlar Birler

Çok büyük bir doğal sayı okunurken şu yol izlenir.

  • Sayı, sağdan sola doğru bölüklere ayrılır.
  • En soldaki bölükten başlayarak, bölükteki sayılar okunur, arkasından bölüğün adı söylenir ve sıra ile sağa doğru devam edilir.
  • En sağdaki bölükte bulunan sayı okunur, bölük adı söylenmez.

Bütün basamaklarda sıfır olan bölük okunmaz.

Buna göre 345,128,307 sayısının okunuşuna yazalım

üç yüz kırk beş milyon yüz yirmi sekiz bin üç yüz yedi

Rakamların Basamak Ve Sayı Değerleri

Rakamların basamak değeri

Sayıdaki bir rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değere, bu rakamın basamak değeri denir.

2546                    basamak değeri

6.1      =          6

4.10    =          40

5.100  =          500

2.1000           =          2000

toplam   2546

Not : Basamak değerlerinin toplamı sayının kendisidir.

Rakamın sayı değeri

Rakamın bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek başına gösterdiği sayıya, bu rakamın sayı değeri denir.

Rakamın sayı değeri hiç değişmez

ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR

Bir doğal sayının üslü biçimde yazılması

53 = 5 . 5 . 5        3  tane

Yukarıdaki 53 ifadesine üslü ifade denir. Üslü ifade tabanının üs kadar yan yana yazılıp çarpılması demektir.

Bir sayının üssü, o sayıdan kaç tanesinin yan yana yazılıp çarpılacağını gösterir.

Özel olarak bir sayının 2. kuvvetine sayının karesi, 3. kuvvetine sayının küpü denir.

43 ifadesi “dördün küpü” şeklinde okunur.

23 = 2.2.2 = 4.2 = 8

34 = 3.3.3.3 = 9.9 = 81

Üslü bir sayma sayısının değerini bulup yazma

Üslü bir sayma sayısının değeri, sayının üssü kadar yan yana yazılıp çarpılması ile bulunur.

Örnek

43 = 4.4.4 = 16.4 = 62

53 = 5.5.5 = 25.5 = 125

24 = 2.2.2.2 = 4.4 = 16

10 un üsleri

           üslü ifade          çarpan                                     değeri

100                  1                                                        1

101                  10                                                       10

102                  10.10                                                 100

103                  10.10.10                                           1000

104                  10.10.10.10                                      10000

105                  10.10.10.10.10                                100000

106                  10.10.10.10.10.10                           1000000

107                  10.10.10.10.10.10.10                     10000000

108                  10.10.10.10.10.10.10.10                100000000

109                  10.10.10.10.10.10.10.10.10          1000000000

Üslü doğal sayılarda sıralama

  • Eğer üslü ifadelerin tabanları aynı üsleri farklı ise; üssü büyük olan büyüktür.
  • Eğer üslü ifadelerin üsleri aynı tabanları farklı ise; tabanı büyük olan büyüktür.
  • Tabanları ve üsleri farklı ise; bu durumda karşılaştırma yapmamız için sayıların değerini bulmalıyız, daha sonra sıralayabiliriz.

DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

  • Kapalılık Özelliği:

Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık özelliği vardır.

Örnek:

3 ile 87 nin toplamı bir doğal sayımıdır?

  • Değişme Özelliği:

Toplanan herhangi iki doğal sayının sırasını değiştirip tekrar toplarsak sonuç değişmediğinden, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek:         4 + 9  = 9 + 4

  • Birleşme Özelliği:

Her hangi üç doğal sayı toplanırken; ilk ikisi ile üçüncüsünün toplamı, son ikisi ile birincinin toplamına eşit olduğundan, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Örnek:                  ( 3+ 12 ) + 24 = 3 + ( 12 + 24 )

  • Etkisiz Eleman Özelliği:

Her hangi bir doğal sayı ile sıfır toplandığında sonuç ilk doğal sayı olduğundan, doğal sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı vardır ve sıfırdır.

  • Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği

a,b,c ∈ N için

a ( b + c ) = ab + ac

Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

  • Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği

a,b,c ∈ N için

a ( b – c ) = ab – ac

Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

Bölme işleminin özellikleri :

  • Kapalılık özelliği

İki doğal sayının birbirine bölümü her zaman bir doğal sayı olmayacağından dolayı, doğal sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık özelliği yoktur.

  • Değişme özelliği

Bölme işleminde değişme özelliği yoktur

  • Birleşme özelliği

Bölme işleminde birleşme özelliği yoktur

Doğal sayılar – Tam sayılar

Rakam         : sayıları ifade etmeye yarayan sembollere “ rakam” denir.

{0,1,2,,3,,4,5,6,7,8,9}   ONLUK SİSTEMİN RAKAMLARIDIR.

{ 0,1,2}     ÜÇLÜK SİSTEMİN RAKAMLARIDIR.

Örnek        :  x ve y farklı rakamlar ise x + y   ve   x .y nin en büyük değeri nedir?

x + y = 17   x . y = 72

Örnek         : x ve y rakam olmak üzere  x + y    ve  x . y nin en büyük değeri nedir?

x + y = 18              x . y = 81

NOT               : Her rakam bir sayıdır , fakat her sayı bir rakam değildir.

72 sayıdır fakat rakam değildir

7 hem sayı , hem de rakamdır